反函数怎么求-如何求反函数
可以使用arccos计算公式:cos(arcsinx)=√(1-x^2)计算。
一般来说,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f-1(y) 。反函数x=f -1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。
一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x),则y=f(x)的反函数为x=f-1(y)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。注意:上标"−1"指的是函数幂,但不是指数幂。
扩展资料:
反函数存在定理
定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同。在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。
设y=f(x)的定义域为D,值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2,当x1<x2时,有y1<y2,则称y=f(x)在D上严格单调递增;当x1<x2时,有y1>y2,则称y=f(x)在D上严格单调递减。
证明:设f在D上严格单增,对任一y∈f(D),有x∈D使f(x)=y。
而由于f的严格单增性,对D中任一x'<x,都有y'<y;任一x''>x,都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个,根据反函数的定义,f存在反函数f-1。
任取f(D)中的两点y1和y2,设y1<y2。因为f存在反函数f-1,所以有x1=f-1(y1),x2=f-1(y2),且x1、x2∈D。
若此时x1≥x2,根据f的严格单增性,有y1≥y2,这和我们假设的y1<y2矛盾。
因此x1<x2,即当y1<y2时,有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。
如何求反函数,有什么公式
一、判断反函数是否存在:
由反函数存在定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同:
1、先判读这个函数是否为单调函数,若非单调函数,则其反函数不存在。
设y=f(x)的定义域为D,值域为f(D)。如果对D中任意两点 x₁ 和 x₂ ,当 x₁<x₂ 时,有 y₁<y₂ ,则称y=f(x)在D上严格单调递增;当 x₁<x₂ 时,有 y₁>y₂,则称 y=f(x) 在D上严格单调递减。
2、再判断该函数与它的反函数在相应区间上单调性是否一致;
满足以上条件即反函数存在。
二、具体求法:
例如 求 y=x^2 的反函数。
x=±根号y,则 f(x) 的反函数是正负根号 x,求完后注意定义域和值域,反函数的定义域就是原函数的值域,反函数的值域就是原函数的定义域。
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反函数存在定理
定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同。
在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。
设y=f(x)的定义域为D,值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2,当x1<x2时,有y1<y2,则称y=f(x)在D上严格单调递增;当x1<x2时,有y1>y2,则称y=f(x)在D上严格单调递减。
证明:设f在D上严格单增,对任一y∈f(D),有x∈D使f(x)=y。
而由于f的严格单增性,对D中任一x'<x,都有y'<y;任一x''>x,都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个,根据反函数的定义,f存在反函数f-1。
任取f(D)中的两点y1和y2,设y1<y2。而因为f存在反函数f-1,所以有x1=f-1(y1),x2=f-1(y2),且x1、x2∈D。
若此时x1≥x2,根据f的严格单增性,有y1≥y2,这和我们假设的y1<y2矛盾。
因此x1<x2,即当y1<y2时,有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。
如果f在D上严格单减,证明类似。
怎样求一个函数的反函数
求反函数的步骤:1、反解方程,将x看成未知数,y看成已知数,解出x的值。
2、将这个式子中的x,y兑换位置,就得到反函数的解析式。
3、求反函数的定义域,这个是很重要的一点,反函数的定义域是原函数的值域。
则转变成求原函数的值域问题,求出了解析式,求出了定义域,就完成了反函数的求解。
数学上的求一个函数的反函数怎么求有哪些方法,试举几
反函数就是从函数y=f(x)中解出x,用y表示 :x=φ(y),如果对于y的每一个值,x都有唯一的值和它对应,那么x=φ(y)就是y=f(x)的反函数,习惯上,用x表示自变量,所以x=φ(y)通常写成y=φ(y) (即对换x,y的位置)。
求一个函数的反函数:
1、从原函数式子中解出 x 用 y 表示;
2、对换 x,y ;
3、标明反函数的定义域
注:反函数里的x是原函数里的y,原函数中,y≥0,所以反函数里的x≥0。在原函数和反函数中,由于交换了x、y的位置,所以原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域。
扩展资料:
反函数存在定理:
定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同。
在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。
设y=f(x)的定义域为D,值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2,当x1<x2时,有y1<y2,则称y=f(x)在D上严格单调递增;当x1<x2时,有y1>y2,则称y=f(x)在D上严格单调递减。
证明:设f在D上严格单增,对任一y∈f(D),有x∈D使f(x)=y。
而由于f的严格单增性,对D中任一x'<x,都有y'<y;任一x''>x,都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个,根据反函数的定义,f存在反函数f-1。
任取f(D)中的两点y1和y2,设y1<y2。而因为f存在反函数f-1,所以有x1=f-1(y1),x2=f-1(y2),且x1、x2∈D。
若此时x1≥x2,根据f的严格单增性,有y1≥y2,这和我们假设的y1<y2矛盾。
因此x1<x2,即当y1<y2时,有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。
如果f在D上严格单减,证明类似。
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