如何证明勾股定理-勾股定理16种证明方法

简单的勾股定理的证明方法如下：

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。

发现四个直角三角形和一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形，刚好可以组成边长为（a+b）的正方形；四个直角三角形和一个边长为c的正方形也刚好凑成边长为（a+b）的正方形。

所以可以看出以上两个大正方形面积相等。 列出式子可得：

拓展资料：

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

参考资料：勾股定理_百度百科

勾股定理16种证明方法

勾股定理16种证明方法

勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方,即在以a、b为直角边，c为斜边的三角形中有a^2+b^2=c^2。

方法

• 1/16

  证法一（邹元治证明）：
  以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼，使A、E、B三点共线，B、F、C 三点共线，C、G、D三点共线。
  ∵Rt△HAE≌Rt△EBF
  ∴∠AHE=∠BEF
  ∵∠AHE+∠AEH=90°
  ∴∠BEF+∠AEH=90°
  ∵A、E、B共线
  ∴∠HEF=90°，四边形EFGH为正方形
  由于上图中的四个直角三角形全等，易得四边形ABCD为正方形
  ∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积
  ∴(a+b)^2=4•（1/2）•ab+c^2，整理得a^2+b^2=c^2

• 

  请点击输入图片描述

• 2/16

  证法二（课本的证明）：
  如上图所示两个边长为a+b的正方形面积相等，
  所以a^2+b^2+4•（1/2）•ab=c^2+4•（1/2）•ab，故a^2+b^2=c^2。

• 

  请点击输入图片描述

• 3/16

  证法三（赵爽弦图证明）：
  以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼。
  易得四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形
  ∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积
  ∴c^2=4•（1/2）•ab+(b-a)^2 ，整理得a^2+b^2=c^2

• 

  请点击输入图片描述

• 4/16

  证法四（总统证明）：
  如下图所示。
  易得△CDE为等腰直角三角形
  ∴梯形ABCD的面积=两个直角三角形的面积+一个等腰三角形的面积
  ∴1/2•（a+b）•（a+b）=2•（1/2）•ab+（1/2）•c^2，整理得a^2+b^2=c^2

• 

  请点击输入图片描述

• 5/16

  证法五（梅文鼎证明）：
  以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼，使DEF在同一直线上，过C点作CI垂直于DF,交DF于I点。
  易得四边形ABEG、四边形CBDI、四边形FGHI都为正方形。
  ∴多边形EGHCB的面积=正方形ABEG的面积-两个直角三角形的面积
  且多边形EGHCB的面积=正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积-两个直角三角形的面积
  ∴正方形ABEG的面积=正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积
  ∴c²=a²+b²

• 

  请点击输入图片描述

• 6/16

  证法六（项明达证明）：
  以a、b为直角边，以c为斜边做两个全等的三角形，做一个边长为c的正方形，按下图所示相拼，使E、A、C在同一条直线上。
  过Q点作QP⊥AC，交AC于P点
  分别过F、B作QP的垂线段，交点分别为M、N
  易得四边形ABQF为正方形
  利用全等三角形的判定定理角角边（AAS）可得
  △AEF≌△QMF≌△BNQ，此时问题转化为梅文鼎证明。

• 

  请点击输入图片描述

• 7/16

  证法七（欧几里得证明）：
  在直角边为a、b，斜边为c的直角三角形中，分别以a、b、c为边作正方形，如下图所示。连接FB和CD，过C点作CN⊥DE交DE于E点，交AB于M点。
  ∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠CAD，∴△FAB≌△CAD（SAS）
  而△FAB的面积=△CAD的面积=（½）•ac sin（90°+∠CAB）=（½）a²
  ∵△CAD与矩形AMND等底等高
  ∴矩形AMND的面积为△CAD面积的两倍，即a²
  同理可得矩形BMNE的面积为b²
  ∵正方形ADEB的面积=矩形AMND的面积+矩形BMNE的面积
  ∴c²=a²+b²

• 

  请点击输入图片描述

• 8/16

  证法八（相似三角形性质证明）
  如下图所示，在直角三角形ABC中，AC=b，BC=a，AB=c,∠ACB=90°，过C点作CD垂直于AB，交AB于D点。
  ∵∠BDC=∠BCA=90°，∠B=∠B
  ∴△BDC∽△BCA
  ∴BD∶BC=BC∶BA
  ∴BC²=BD•BA
  同理可得AC²=AD•AB
  ∴BC²+AC²=BD•BA+AD•AB=(BD+AD)•AB=AB²,即a²+b²=c²

• 

  请点击输入图片描述

• 9/16

  证法九（杨作玫证明）：
  做两个全等的直角三角形，设它们的两直角边分别为a、b（b>a）斜边长为c，再做一个边长为c的正方形，按下图所示相拼。过A点作AG⊥AC，交DF于G点，AG交DE于H点。过B作BI⊥AG，垂足为I点。过E点作EJ与CB的延长线垂直，垂足为J点，EJ交AG于K点,交DB于L点。
  ∵∠BAE=90°∠GAC=90°∴∠EAK=∠BAC
  ∵GA⊥AC,BC⊥AC
  ∴GA∥BC
  ∵EJ⊥BC
  ∴EJ⊥GA
  ∴∠EKA=∠C=90°而AE=AB=c
  ∴△EAK≌△BAC（AAS）
  ∴EK=a，KA=b
  由作法易得四边形BCAI为矩形
  ∴AI=a,KI=b-a
  ∵△BAC≌△EDF
  ∴△EAK≌△EDF
  ∴∠FED=∠KEA
  ∴∠FEK=90°
  ∴四边形EFGK为正方形，同时四边形DGIB为直角梯形
  用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为
  c²=S1+S2+S3+S4+S5 ①
  ∵S8+S3+S4=½[b+(b-a)]•[a+(b-a)]
  =b²-½ab ，S5=S8+S9
  ∴S3+S4=b²-½ab-S8=b²-S1-S8②
  把②代入①得
  c²=S1+S2+b²-S1-S8+S8+S9
  =b²+S2+S9
  =b²+a²

• 

  请点击输入图片描述

• 10/16

  证法十（李锐证明）：
  设直角三角形两直角边长分别为a、b（b>a）,斜边长为c。做三个边长分别为a、b、c的正方形，按下图相拼，使AEG三点共线，过Q点作GM⊥AG,交点为M,用数字表示面积的编号。
  ∵∠TBE=∠ABH=90°
  ∴∠TBH=∠EBA
  ∵∠T=∠BEA=90°，BT=BE=b
  ∴△HBT≌△ABE（ASA）
  ∴HT=AE=a，GH=GT-HT=b-a
  ∵∠GHF+∠BHT=90°，∠TBH+∠BHT=90°
  ∴∠GHF=∠TBH=∠DBC
  ∵BD=BE-ED=b-a，
  ∠G=∠BDC=90°
  ∴△GHF≌△DBC（ASA），S7=S2
  由∠BAQ=∠BEA=90°,可知∠ABE=∠QAM
  ∵AB=AQ=c
  ∴△ABE≌△QAM（AAS）
  ∴△QAM≌△HBT，S5=S8
  同时有AR=AE=QM=a，且∠QFM与∠ACR分别为∠GHF与∠DBC的余角
  ∴∠QFM=∠ACR
  ∵∠R=∠FMQ=90°
  ∴△FMQ≌△CRA（AAS），S4=S6
  ∵c²=S1+S2+S3+S4+S5,
  a²=S1+S6,b²=S3+S7+S8
  S7=S2,S8=S5,S4=S6
  ∴a²+b²=S1+S6+S3+S7+S8=S1+S4+S3+S2+S5=c²

• 

  请点击输入图片描述

• 11/16

  证法十一（利用切割线定理证明）：
  在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=b，AB=c，BC=a，以B为圆心，a为半径画圆，AB交圆与D点，AB的延长线交圆于E点。
  根据切割线定理（从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项）可得：AC²=AD•AE
  ∴b²=(c-a)(c+a)=c²-a²
  ∴a²+b²=c²
  

• 

  请点击输入图片描述

• 12/16

  证法十二（利用多列米定理证明）：
  在直角三角形ABC中，设BC=a，AC=b，斜边AB=c，过A点作AD∥CB,过B点作BD∥CA,则四边形ACBD为矩形，矩形ACBD内接于唯一的一个圆。
  根据多米列定理（圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和）可得：
  AB•DC=DB•AC+AD•CB
  ∵AB=DC=c,DB=AC=b，AD=CB=a
  ∴c²=b²+a²

• 

  请点击输入图片描述

• 13/16

  证法十三（作直角三角形的内切圆证明）：
  在Rt△ABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c。作Rt△ABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F，如下图所示，设圆O的半径为r。
  ∵AB=AF＋BF,CB=BD＋CD,AC=AE＋CE
  ∴AC+CB-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF)=CE+CD=2r,即a+b-c=2r
  ∴a+b=2r+c
  (a+b)²=(2r+c)²
  a²+b²+2ab=4(r²+rc)+c²
  ∵S△ABC=½ab
  ∴4S△ABC=2ab
  ∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=½cr+½ar+½br=½(a+b+c)r=½(2r+c+c)r=r²+rc
  ∴4(r²+rc)=2ab
  ∴a²+b²+2ab=2ab+c²
  ∴a²+b²=c²

• 

  请点击输入图片描述

• 14/16

  证法十四（利用反证法证明）：
  在Rt△ABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c。过C点作CD⊥AB，垂足为D点，如下图所示。
  假设a²+b²≠c²，即AC²+BC²≠AB²
  则由AB²=AB·AB=AB·(AD+BD)=AB·AD+AB·BD知
  AC²≠AB·AD或BC²≠AB·BD
  即AD∶AC≠AC∶AB或BD∶BC≠BC∶AB
  在△ADC和△ACB中
  ∵∠A=∠A
  ∴若AD∶AC≠AC∶AB，则∠ADC≠∠ACB
  在△CBD和△ACB中
  ∵∠B=∠B
  ∴若BD∶BC≠BC∶AB，则∠CDB≠∠ACB
  ∵∠ACB=90°
  ∴∠ADC≠90°，∠CDB≠90°
  这与CD⊥AB矛盾，所以假设不成立
  ∴a²+b²=c²

• 

  请点击输入图片描述

• 15/16

  证法十五（辛卜松证明）：
  直角三角形以a、b为直角边，以c为斜边。作边长为a+b的正方形。
  把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为
  (a+b)²=a²+b²+2ab
  把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为
  (a+b)²=4x½ab+c²=2ab+c²
  ∴a²+b²+2ab=2ab+c²
  ∴a²+b²=c²

• 

  请点击输入图片描述

• 16/16

  证法十六（陈杰证明）：
  设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c。做两个边长分别为a、b的正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上。 用数字表示面积的编号，如下图所示。
  在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，则 AD = c
  ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a
  ∴ DM = EM―ED = (b+a)―a = b
  又∵ ∠CMD = 90°，CM = a， ∠AED = 90°， AE = b
  ∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC(SAS)
  ∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c
  ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180°， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90°
  ∴ ∠ADC = 90°
  ∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则四边形ABCD是一个边长为c的正方形
  ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90°
  ∴ ∠BAF=∠DAE。连结FB，在ΔABF和ΔADE中
  ∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE
  ∴ ΔABF ≌ ΔADE(SAS)
  ∴ ∠AFB = ∠AED = 90°，BF = DE = a
  ∴ 点B、F、G、H在一条直线上
  在RtΔABF和RtΔBCG中，
  ∵ AB = BC = c，BF = CG = a，
  ∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG (HL)
  ∵c²=S₂+S₃+S₄+S₅， b²=S₁+S₂+S₆， a²=S₃+S₇，S₁=S₅=S₄=S₆+S₇，
  ∴a²+b²=S₃+S₇+S₁+S₂+S₆=S₂+S₃+S₁+(S₆+S₇)=S₂+S₃+S₄+S₅ =c²
  ∴ a²+b²=c²

• 

  请点击输入图片描述

勾股定理怎么证明呢？

简单的勾股定理的证明方法如下：

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。

发现四个直角三角形和一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形，刚好可以组成边长为（a+b）的正方形；四个直角三角形和一个边长为c的正方形也刚好凑成边长为（a+b）的正方形。

所以可以看出以上两个大正方形面积相等。 列出式子可得：

拓展资料：

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

参考资料：勾股定理_百度百科

勾股定理的最简单的证明方法是什么？

简单的勾股定理的证明方法如下：

拓展资料：

勾股定理的使用方法：

1、确保三角形是直角三角形。 勾股定理只适用于直角三角形中，所以，在应用定理之前，你需要先确定三角形是否是直角三角形，这一点非常重要。幸好，区分直接三角形和别的三角形的方法只有一个，那就是看一个三角形中是否有一个90度的角。

2、确定变量a，b，c对应的三角形的边。在勾股定理中，a，b表示直角三角形的两条直角边，而c用来表示斜边，即直角对应的那条最长的边。所以，先给两条直角边分别标注上a，b（具体的对应关系没有要求），而斜边标注上c。

3、确定你所要求的边。使用勾股定理可以求出直角三角形的任意一条边的长度，但前提是知道另外两条边的长度。先确定哪一条边的长度是未知的——a，b或者c。

4、代入。将两条已知边的长度带入到公式a2 + b2 = c2中，其中a和b对应的是两直角边的长度，而c代表斜边长度。在上面的例子中，我们知道一条直角边和斜边的长度（3和5），然后将3和5代入到公式中，有32 + b2 = 2。

5、计算平方。首先，计算两条已知边长度的平方值。或者，你也可以先不计算出来，然后保留平方，带到式子中直接计算平方和。在上述例子中，3和5的平方分别是9和25，所以方程可以改写为9 + b2 = 25。

6、将未知变量移到等号一边。如果有必要的话，运用基本的代数操作，将未知变量移动到等号一侧，而将已知变量移动到等号的另一侧。如果你要求的是斜边长，那么就不需要再移动变量了。在上述例子中，方程式是9 + b2 = 25。两边同时减去9，等式变为b2= 16。

7、求开方。现在等式两边一边是数字，另一边是变量，然后同时求两边的平方根。在上述例子中b2 = 16，两边同时求平方根，有b = 4。因此，未知边的长度就是4。